433. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Экономико-математический подход к моделированию малого бизнеса. – В сб.: Научные труды Рижского института мировой экономики. Вып.3. - Рига: РИМЭ, 1999. С.5-14.   

Н.Ю.ИВАНОВА,
к.э.н., профессор МГИЭМ,
А.И.ОРЛОВ,
д.т.н., профессор МГТУ им. Н.Э.Баумана

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 
К МОДЕЛИРОВАНИЮ МАЛОГО БИЗНЕСА
 
	Малое предпринимательство - важная составная часть постсоветской экономики. Например, в Москве более 10% населения трудится на малых предприятиях. Поэтому весьма актуальным является изучение сферы малого бизнеса с позиций экономической теории, в частности, методами экономико-математического моделирования [1]. Развитие малого предпринимательства необходимо для эффективного функционирования экономики постсоветских государтств, в частности, Латвии и России. Для понимания особенностей этого развития могут оказаться полезными разнообразные математические модели. Подходам к построению и изучению некоторых из них посвящена основная  часть настоящей  статьи. 
	Насколько нам известно, в отечественной и зарубежной литературе мало работ по экономико-математическому моделированию малого бизнеса. Поэтому мы сочли полезным дать широкую панораму возможных подходов к построению моделей, которые могут оказаться полезными для описания динамики развития малых предприятий, а также и управления ими. Поскольку для описания тех или иных проблем малого предпринимательства могут использоваться самые разные виды экономико-математических моделей, то мы сочли полезным рассмотреть достаточно широкий спектр таких молелей, что повлекло довольно краткое описание конкретных моделей. При этом описание моделей доведено до такого уровня, чтобы  опытный специалист в области экономико-математического моделирования мог при необходимости самостоятельно развить конкретную модель до этапа расчетных формул и численных результатов. Особое внимание мы уделили применению методов статистики нечисловых данных, наиболее актуальных в настоящее время. 
1. Проблемы маркетинга малого бизнеса
	Во всех странах с развитой рыночной экономикой нестабильность малого бизнеса во многом связана с его сильной зависимостью от внешней среды - как от STEP-факторов (социальных, технологических, экономических, политических), так и от факторов конкурентного окружения (в т.ч. - от поставщиков и  потребителей) [2]. Для того, чтобы выжить и занять свою рыночную нишу, малый бизнес должен хорошо ориентироваться и адаптироваться в условиях достаточно высокой степени неопределенности и риска. Это означает, что маркетинг малого бизнеса изначально носит рисковый характер [3]. 
	Для снижения степени риска маркетинга малого бизнеса требуется высокий профессионализм менеджера малой организации в области управления рыночной  информацией и быстрота реакции в принятии решений при изменении условий внешней среды. То есть как лицо, принимающее решения (ЛПР), менеджер малой организации должен быть одновременно хорошим маркетологом [4,5].
	Маркетинг малого бизнеса имеет особенности. Для того, чтобы малая организация могла выжить и занять свою рыночную нишу, ее маркетинг с самого  начала  должен быть ориентирован не на абстрактные производство и сбыт, а на конкретного потребителя с его индивидуальными запросами. Иными  словами, приоритетной формой маркетинга малого бизнеса является целевой специализированный маркетинг. Он позволяет сконцентрировать объективно небольшие ресурсы малой организации  на наиболее важном направлении. Однако цена ошибки ЛПР, цена принятия неправильного решения в малом бизнесе многократно возрастает, т.к. у малой организации, как правило, нет финансовых возможностей диверсифицировать свою деятельность и свой риск.
	Следовательно, для менеджера малой организации наиболее важные и сложные задачи таковы: проведение маркетинговых исследований по изучению рынка, сегментация рынка, выбор целевого сегмента, оценка его потенциальной мощности, оценка риска выбора рыночной ниши и силы потенциальных конкурентов. Успешное решение перечисленных задач требует от менеджера малой организации достаточно серьезной подготовки в области эконометрики, поскольку оплата услуг консалтинговых фирм по этим вопросам стоит достаточно дорого. 
	Вместе с тем для того, чтобы быстро реагировать на изменения внешней среды, оказывающей сильное воздействие на малую организацию, ее менеджер должен проводить постоянный мониторинг рыночной ситуации по определенным наиболее значимым параметрам (спрос, предложение, цены, товары-конкуренты,  альтернативные технологии и др.). Сбор и оперативное использование такой информации является решающим фактором успеха в маркетинге малого бизнеса при принятии решений. Это требует определенных  знаний и навыков у менеджера по формированию банка данных и работе с маркетинговой информацией. Наиболее доступными для менеджеров малого бизнеса являются экономико-статистические методы и методы математического моделирования, позволяющие (при определенной подготовке менеджеров и наличии программной поддержки) достаточно быстро обрабатывать и использовать оперативную информацию на практике.
2. Математические методы и модели для решения задач малого бизнеса
	Достаточно известными примерами применения методов экономико-математического моделирования в маркетинге для структурирования и анализа рыночной информации являются модели жизненного цикла товара (фирмы), модели маркетингового комплекса 4р (7р), матрица "Бостон-консалтинг групп", SWOT-анализ конкурентов, матрица определения проблемы и др.[3,5]. Они могут быть простейшими инструментами управления маркетингом в малом бизнесе и позволяют достаточно оперативно оценить место и конкурентные преимущества организаций. Вместе с тем возможности экономико-математического моделирования позволяют менеджеру самостоятельно структурировать свою собственную ситуацию и создавать собственные модели (или варианты типовых моделей с собственными значениями параметров) оптимального поведения на рынке в условиях неопределенности и риска. Так, известная среди маркетологов и менеджеров матрица "Бостон-консалтинг групп" является, на наш взгляд, не двухмерной, а трехмерной моделью, в которой наряду с долей на рынке и темпои роста продаж обязательно должен рассматриваться такой параметр, как прибыль организации.
	При разработке экономико-математической поддержки малого бизнеса математические модели развития малого предпринимательства должны изучаться специалистами теоретически на основе вероятностных и имитационных методов и сопоставляться со статистическими данными, характеризующими реальное положение в рассматриваемой области экономики. 
	Методология математического моделирования  позволяет ставить и решать различные задачи, возникающие в маркетинге  малого  бизнеса.  В частности, отметим  задачи анализа и прогнозирования рыночной ситуации, оценки  различных видов рисков.
	Целесообразно разделять экономико-статистические (эконометрические) методы и экономико-математическое моделирование, хотя такое деление и условно. Примером первых (т.е. методов прикладной статистики применительно к конкретным экономическим данным) являются методы выборочного изучения потребителей. Так, в 1994 г. нами были опрошены 500 потребителей и продавцов растворимого кофе, полученные результаты были использованы фирмой-заказчиком при маркетинге, в частности, при планировании рекламной кампании. Технология проведения таких маркетинговых исследований близка к технологии социологических опросов, а также имеет много общего со статистическим управлением качества продукции, в частности, с оценкой качества при сертификации [6].
	При  экономико-математическом моделировании используются нацеленные на конкретные применения модели, в отличие от моделей прикладной статистики, которые можно использовать в любой сфере деятельности. Примерами являются  экономико-математические модели управления запасами [7], с помощью которых удается находить оптимальные размеры поставок и процедуру их поступления. Обычно применение таких моделей позволяет по крайней мере вдвое сократить суммарные издержки [7]. Набор подобных компьютерных моделей должен быть рабочим инструментом менеджера малого предприятия. 
	При математическом моделировании маркетинговых проблем малого бизнеса используют статистические методы и методы экспертных оценок [8], а также методы имитационного моделирования. В настоящее время быстрых перемен в социальной, экономической и политической сферах отсутствуют  достаточно длинные временные ряды экономических данных, и интерес исследователей и практических работников переместился из статистики временных рядов в области теории и практики экспертных оценок.
	 В маркетинговых исследованиях для малого бизнеса большую роль играют факторы нечисловой природы - качественные признаки,  интервальные и нечеткие оценки и др. Нами развиваются современные методы статистического анализа нечисловых данных [9]. Оригинальность и эффективность математического аппарата определяется тем, что он основан на использовании расстояний в выборочных пространствах, а не операций суммирования.
	При изучении экономических рисков, в частности, связанных с осуществлением инвестиционных проектов, необходимо моделировать различные неопределенности будущего и настоящего. Неопредленность описывают с помощью вероятностно-статистических, нечетких, в частности, интервальных моделей. Вероятностно-статистические модели нацелены прежде всего на анализ массовых явлений. Неопределенность единичных событий более целесообразно описывать с помощью нечетких множеств, в частности, с помощью интервальных чисел, задающих нижние и верхние границы для неизвестных в точности параметров. Хотя давно доказано [7], что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств, при практическом применении математический аппарат теории нечеткости существенно отличается от вероятностно-статистического, а также и от аппарата статистики интервальных данных [10].
	При применении математических моделей весьма важным является исследование устойчивости выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели [7]. Только та  модель может быть рекомендована для практического использования, для которой полученные с ее помощью выводы мало меняются  при  подобных отклонениях.
	Нами накоплен определенный опыт применения методологии  экономико-математического моделирования при решении практических задач маркетинга малого бизнеса, в частности, в области товаров народного потребления и производственного назначения, образовательных услуг, а также при анализе и моделировании инфляционных процессов, в сфере налогообложения [11] и др.
	Перейдем к более подробному рассмотрению предлагаемых нами экономико-математических моделей, предназначенных для описания маркетинговой деятельности и жизненного цикла  предприятий малого бизнеса.
3. Маркетинговые модели принятия решений
	Для структурирования и анализа рыночной информации могут быть применены предлагаемые нами обобщения таких известных инструментов принятия управленческих решений, как SWOT-анализ и матрица "Бостон консалтинг групп". Эти обобщения позволяют эффективно использовать  современные методы экспертного оценивания, в том числе основанные на применении статистики нечисловых, в частности, интервальных данных.
	В обобщении SWOT-анализа предприятия оцениваются (в количественных или в качественных шкалах) по четырем группам показателей - сильные и слабые стороны, угрозы и возможности. Частные показатели сводятся в групповые, а групповые - в итоговый (обобщенный). Это дает возможность ранжировать и классифицировать конкурентов (например, на весьма опасных, опасных и неопасных), а также отслеживать и моделировать динамику показателей и итоговых оценок предприятий. 
	В обобщенной матрице "Бостон консалтинг групп" предлагается использовать трехмерную модель, в которой предприятие описывается долей на рынке, темпом роста продаж и прибылью. От качественных значений перечисленных переменных переходим к количественным, а также строим итоговый показатель и прогностические правила. 
	Рассматриваемые модели основаны на применении технологии построения единичных, групповых и обобщенных показателей (оценок отдельных сторон деятельности фирм - конкурентов и их экономического положения в целом), развитой нами ранее для решения задач экологического страхования [12]. Компьютерная поддержка этой технологии может быть осуществлена с помощью АРМ МАТЭК (МАТематические методы в ЭКспертных исследованиях) - автоматизированного рабочего места организатора экспертного опроса [13].
	Экспертные оценки как самостоятельное направление научно-практической деятельности развивается в нашей стране с 70-х годов. В частности, с 1973 г. работает неформальный научный коллектив вокруг научного  семинара “Математические методы экспертных оценок  и нечисловая статистика”. Проведена масса исследований, опубликованы десятки монографий и сборников, сотни статей. Направления исследований, связанные с интересами авторов, отражены в [7-9, 14, 15]. Однако до 90-х годов не было стимулов стремиться к практическому внедрению теоретических исследований, разрабатывать конкретные методики и компьютерные системы. 
	В настоящее время ситуация изменилась. Возникла масса аналитических центров, которым расматриваемые разработки явно полезны. Однако важно установить контакты между теоретиками и менеджерами аналитических центров, наладить систему обучения. Накопленные теоретиками знания должны быть основой для компьютерных систем, например, таких, как уже упомянутое Автоматизированное Рабочее Место “Математика для экспертизы” (АРМ МАТЭК).
4. О теории ранжировок и рейтингов
	Ограничимся здесь одним сюжетом, связанным с ранжировками и рейтингами. В настоящее время распространены экспертные и социологические опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы инвестиционным проектам, направлениям работ или исследований, товарам, идеям, проблемам, программам или политикам, а затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные фирмой или обществом в целом инвестиционным проектам, направлениям работ или исследований, товарам, идеям, проблемам, программам или политикам. Мы уже более 20 лет знаем, что такой способ некорректен. Чтобы объяснить, почему это так, необходимо обратиться к теории измерений.
	Сначала эта теория развивалась как теория психологических измерений (см., например, сборник [16]). Первые отечественные  работы, появившиеся в начале 70-х  годов, привели к расширению области применения: Г.А.Сатаров применял теорию измерений к педагогической  квалиметрии,  В.Б.Кузьмин - в системных исследованиях,  А.И.Орлов - в теории экспертных оценок и для агрегирования показателей качества,  Ю.Н.Толстова - в социологических  исследованиях, и др. [7, 15[). Перевод книги И.Пфанцагля [17] символизирует окончательное оформление теории измерпний как научного направления, отказ от ограничений на области применения.
	В соответствии с теорией измерений при математическом моделировании реального явления или процесса следует прежде всего установить, в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых  преобразований. Укажем основные виды шкал измерения и соответствующие группы  допустимых преобразований. В шкале наименований (номинальной) допустимыми являются все взаимно-однозначные  преобразования, в порядковой - все строго возрастающие преобразования, в шкале интервалов - линейные возрастающие преобразования, в шкале отношений - подобные (изменяющие только масштаб) преобразования, а для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.
	Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в теории измерений так: выводы на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании  шкалы  измерения этих данных (другими словами, должны быть инвариантны по отношению к  допустимым преобразованиям шкалы).
	Применим это требование при выборе вида средней величины.
5. Задача сравнения средних 
	Начнем, как и в [7], с понятного всем примера. Какие профессии  предпочитают выпускники школ?  В исследованиях В.Н.Шубкина (Новосибирск, 60-е годы) выпускникам предлагалось оценить профессии баллами от 1 до 10. Затем профессии оценивались средними арифметическими баллов, им приписанных всеми опрошенными. При таком способе сравнения  профессий  оказалось, что выпускники новосибирских школ предпочитают физику математике. Однако в Ленинграде (по данным Г.И.Щукиной) школьники предпочитают  математику, а не физику. В чем причина различий? Возможно, не в объективном различии регионов, а в субъективизме исследователя,  выбирающего  тот или иной метод анализа данных. Выше уже говорилось об иных социально-экономических постановках, в которых возникает аналогичная проблема обоснования выбора вида средней. Среди них - весьма важные для малого бизнеса.
	Как сравнивать совокупности? Самое простое -  по средним значениям. А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее   арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением перечиленных является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле 
G{(F(X1)+F(X2)+...F(Xn ))/ n}, 
где F -  строго  монотонная  функция,  G - функция, обратная к F. Если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то - среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то - среднее гармоническое, и т.д.
	Общее понятие среднего (по Коши) таково: средней величиной является  любая функция f(X1, X2,...,Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,...,Xn , и не больше, чем максимальное из этих чисел.
	При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться. Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. Пусть функция f( X1, X2,...,Xn) - среднее по  Коши.  Пусть 
 f( Y1, Y2,...,Yn) <  f( Z1, Z2,..., Zn).
Тогда  для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g  из группы  допустимых  преобразований  было справедливо также неравенство 
f(g(Y1,), g(Y2),..., g(Yn)) < f (g(Z1), g(Z2,),..., g(Zn)),
т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было  меньше среднего преобразованных  значений для второй совокупности.  Причем сформулированное условие должно быть  верно  для любых двух совокупностей Y1, Y2,...,Yn  и Z1, Z2,..., Zn . Только такими  средними, по нашему мнению, можно пользоваться.
	С помощью развитой в [7] математической теории удается описать вид допустимых средних в основных шкалах измерения. А именно, из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (при нечетном объеме выборки), но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.; в шкала интервалов из всех средних по Колмогорову можно применять только среднее арифметическое; в шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения  являются только степенные средние и среднее геометрическое. Таким образом, в исследованиях В.Н.Шубкина, как и в большинстве современных расчетов рейтингов, применялся и применяется некорректный способ анализа данных.
	Приведем иллюстративный численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1 + X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1 = 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f(Y1 , Y2) = 6, что меньше, чем f(Z1 , Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Тогда f(g(Y1), g(Y2)  =  50, что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7. В результате преобразования шкалы упорядоченность средних изменилась.
	В качестве примера применения приведенных выше результатов отметим, что методы расчета рейтингов “ведущих политиков” на основе усреднения ответов экспертов, публикуемые в “Независимой газеты”, являются математически некорректными. Впрочем, есть много иных претензий к этим методам.  
	Максимальными инвариантами в порядковой шкале являются ранжировки (нестрогие порядки). Поэтому от использования результатов теории измерений менеджеру малой организации естественно перейти к применению методов статистики объектов нечисловой природы [7-9, 14, 15]. 
6. Модели жизненного цикла малых предприятий
	Кратко рассмотрим несколько новых экономико-математических моделей, описывающих развитие малых предприятий в течение их жизненного цикла.
6.1. Моделирование потока проектов
	При построении математических моделей данного типа будем считать, что малое предприятие ассоциируется с последовательностью выполняемых им проектов. Новые малые предприятия порождаются в соответствии с пуассоновским процессом переменной интенсивности (аналогично потоку заявок в теории массового обслуживания [18]). Каждое новое малое предприятие выполняет вначале один проект, величина (стоимость) и продолжительность которого - случайные величины с заданными (в модели) распределениями.
	Точнее, с учетом известных представлений о жизненном цикле продукции (см., например, [19]) экономический эффект (на единицу времени) от выполнения проекта описывается (случайной) функцией от времени (с отсчетом от момента начала осуществления проекта), типовой вид которой таков: сначала отрицательные значения (вначале необходимы вложения), затем - рост до максимального значения, продолжительное "плато" на достигнутом уровне, затем - спад до 0 (окончание проекта). Поскольку для осуществления проекта, как правило, необходим начальный капитал, то в модель порождения малых предприятий необходимо внести новую переменную - (случайную) величину начального капитала, которая, в частности, ограничивает круг проектов, возможных для данного малого предприятия. Возможно и разорение малого предприятия, если из-за случайных причин стартовый капитал окажется недостаточным для осуществления проекта. Отметим, что потоки платежей необходимо оценивать путем приведения к сопоставимым ценам, а при этом не обойтись без учета инфляции, изучение и прогнозирование которой встречает известные трудности [11, 20].
	Однако для некоторых видов деятельности, например, оказания научно-технических услуг, можно считать, что экономический эффект (в сопоставимых ценах) имеет простой частный вид описанной выше функции - является ступенчатой функцией, равной положительной константе С на  отрезке [0,Т] и 0 вне его (здесь С и Т - случайные величины ).
	Поскольку каждый проект рано или поздно заканчивается, малое предприятие, как правило, должно переходить к осуществлению новых проектов еще до окончания жизненного цикла предшествующего проекта. В модели принимаем, что каждый проект порождает своих потомков - новые проекты с определенной интенсивностью. С этой точки зрения малое предприятие - это совокупность проектов, в которую входят: 1) исходный проект (если он еще продолжается); 2) его непосредственные потомки;  3) потомки его потомков, и т.д. Развитие малого предприятия состоит в возникновении, выполнении и прекращении проектов, его образующих. Если все эти проекты прекращаются, то малое предприятие ликвидируется. Аналогом является развитие популяции фамилий, изучаемое с помощью теории ветвящихся процессов [21]. 
	Рассматриваемые модели позволяют, в частности, изучать динамику распределения малых предприятий по размерам и длительности жизни, например, оценивать долю предприятий, прекративших деятельность в течение определенного интервала времени после организации. Можно продемонстрировать положительную роль технопарков как "инкубаторов" малых предприятий, влияние экспертизы бизнес-плана и др. - поддержка проектов на начаьных стадиях при условии отсечения малоперспективных проектов существенно повышает вероятность "выживания" остальных. 
 6.2. Пример модели потока проектов
	Приведенное выше описание задает достаточно обширное семейство математических моделей. Рассмотрим одну из них. 
	Пусть процесс порождения новых предприятий в регионе описывается пуасоновским процессом с постоянной интенсивностью q. Это означает, что за единицу времени возникает случайное число Х малых предприятий, причем Х имеет пуассоновское распределение с параметром  q. В среднем за единицу времени  возникает q малых предприятий, поскольку математическое ожидание Х равно q. Величина q зависит от числа жителей и уровня социально-экономического развития региона.
	Следующий шаг - моделирование начального капитала и стоимости проекта. При этом в случае, когда стоимость проекта больше начального капитала, то предприятие погибает, не приступив к деятельности. Хорошо известно, что в современной России большое число зарегистрированных малых предприятий (по крайней мере до 70%) не проявляет производственной активности. Тем не менее они продолжают учитываться в государственной отчетности, поскольку  их владельцы не считают нужным проводить процедуру ликвидации.
	Рассмотрим предприятия с достаточным начальным капиталом. Пусть для простоты экономический эффект при выполнении проекта является ступенчатой функцией, равной положительной константе С на  отрезке [0,Т] и 0 вне его, где С и Т - случайные величины. Далее следует некоторое число формул и модельные расчеты, которые здесь опустим, поскольку основные идеи, лежащие в основе моделирования, уже сформулированы.
6.3. Модель занятия ниш
	Предположим, что имеется конечный набор "ниш", которые могут занять вновь возникающие предприятия. В соответствии с некоторым  распределением вероятностей порождаются новые предприятия (т.е.указываются для них ниши).. Если ниша занята, то предприятие гибнет. Если нет - занимает нишу и функционирует некоторое случайное время, после чего прекращает деятельность и освобождает нишу. Действующее предприятие может захватывать свободные ниши - на тех же основаниях, что и вновь возникающие предприятия. Нетрудно получить расчетные формулы для числа свободных ниш и вероятности того, что ниша занята, а также для иных характеристик, описывающих развитие популяции малых предприятий. .
6.4. Модель выбора ниши
	Для описания поведения малого предприятия предлагается использовать модель выбора ниши на основе теории принятия решений с использованием дерева целей. Рассматривая выбор на каждом этапе как случайную величину, получаем возможность расчета распределения малых предприятий по вариантам окончательных решений. А это порождает итерационный процесс пересмотра решений, поскольку знание итогового распределения влечет пересмотр некоторых из ранее принятых решений, нааример, о количестве возможных конкурентов. Модель целесообразно реализовать в виде имитационной компьютерной системы, пригодной также для индивидуального обучения и проведения деловых игр. 
	Интересны варианты модели с использованием  интервальных или нечетких ответов, что делает и итоговое решение интервальным или нечетким. Подробнее про нечеткое дерево целей мы не имеем возможности рассказать здесь.
7. Заключение
	Проблемам малого предпринимательства посвящено большое число официальных и научных публикаций (см., например, [22-29]), что объясняется, очевидно, заметным вкладом малых предприятий в отечественное производство, а также - что представляется нам более важным - пионерской ролью малых предприятий в опробывании различных вариантов организации экономической жизни, взаимодействия государственных и негосудартвенных структур. Именно малые предприятия лучше всего демонстрируют роль конкуренции в экономике. Несмотря на всем известные отрицательные примеры, мы считаем возможным, хотя бы в первом приближении, не учитывать в разрабатываемых моделях влияние криминального мира на малые предприятия, а также их использование, например, для формально законного перекачивания финансовых средств в личных целях.
	 Несмотря на наличие достаточно большого числа публикаций по проблемам малого бизнеса, практически все они не используют какого-либо математического аппарата для анализа рассматриваемой области. Поэтому мы, в соответствии с пожеланиями участников международной конференции "Большие системы" (председатель заседания проф.К.А.Багриновский),  подготовили на основе  нашего доклада [30] настоящую работу, посвященную попытке рассмотреть достаточно широкий спектр подходов к построению и использованию экономико-математических моделей в малом бизнесе. 
	Как нам представляется, выше продемонстрировано, что экономико-математическое моделирование имеет широкие перспективы практического применения в маркетинге малого бизнеса. Еще более интересные возможности раскрываются в области теоретических исследований проблем малого бизнеса. Совместная работа экономистов, эконометриков, математиков и практикующих менеджеров малого бизнеса принесет пользу как теории, так и практике. 
 
 Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Методология экономико-матекматического моделирования в маркетинге малого бизнеса // Научные труды Рижского института мировой экономики. Вып.1. - Рига, 1997, с.24-26.
2. Иванова Н.Ю. Малый бизнес за рубежом // Экономика и бизнес. - М.: 1993, с.42-47.
3. Иванова Н.Ю. Малый инновационный бизнес в странах развитой рыночной экономики // Российский экономический журнал, 1995, N 12 .
4. Иванова Н.Ю. Малые формы организации образования в России: проблемы и перспективы.// Наука и технология в России, 1996, N 1(17).
5. Малое инновационное предпринимательство / Под ред. Ивановой Н.Ю.- М.: 1996.
6. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы. // Заводская лаборатория, 1997, N 3.
7. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М., Наука, 1979.
8. Орлов А.И. Экспертные оценки. // Заводская лаборатория, 1996, т.62, No.1, с.54-60. 
9. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы. // "Заводская лаборатория", 1990,  т.56, No.3, с.76-83, 1995, т.61, No.3, с.43-52, No.5, с.43-51. 
10. Орлов А.И. Основные идеи интервальной математической статистики // Наука и технология в России, 1994, N 4(6).
11. Иванова Н.Ю., Кольцов В.Г., Орлов А.И. и др. Математическое моделирование процессов налогообложения (подходы к проблеме). - М.: Изд-во Центра элитарного образования Министерства общего и профессионального образования РФ, 1997. -  232 с.
12. Горский В.Г., Моткин Г.А., Орлов А.И. и др. Методологические основы ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию. // Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.7-12. 
13. Орлов А.И., Горский В.Г., Жихарев В.Н., Цупин В.А. и др. Экспертные оценки: современное состояние и перспективы использования в задачах экологического страхования.// Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.20-23. 
14. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание,1980. 
15. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И., Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. Анализ нечисловой информации.- М.:  Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1981. - 80 с.
16. Психологические измерения. - М.: Мир, 1968.
17. Пфанцагль И. Теория измерений. - М.:  Мир, 1976.
18. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.  М.: Наука, 1966. - 432 с.
19. Жичкин А.М. Менеджмент. - М.: МГИЭМ, 1993.
20. Орлов А.И. Как использовать индекс инфляции? // Наука и технология в России. 1995. № 9-10 (15-16). С.16-17.
21. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука,1971. - 436 с.
22. Иванова Н.Ю., Белов И.А. Ресурсный потенциал малого бизнеса.- "Россия сегодня: общество, культура, государство, человек". Тезисы докладов Межвузовской научно-теоретической конференции. - М.: МГИЭМ(ту), 1998. С. 190-191.
23. Иванова Н.Ю. Национальные особенности российского предпринимательства. - "Россия сегодня: общество, культура, государство, человек". Тезисы докладов Межвузовской научно-теоретической конференции. - М.: МГИЭМ(ту), 1998. С. 192-193.
24. Егорова Н.Е. Моделирование малого бизнеса в условиях становления рыночных отношений. - Вестник Российского гуманитарного научного фонда, 1998, № 1, с.84-93.
25. Варев А.М. Метод построения бизнес-инкубатора с использованием элементов фрайчайзинга. - Современный менедэмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998. С.25-26
26. Вейр П., Мэсон Д. Особенности управления малым бизнесом. - Современный менедэмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998. С.27-28.
27. Кемарский Ю.В., Кохова Л.В., Бороздина Е.В. Особенности малого бизнеса Ивановской области. - Современный менедэмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998. С.45-45.
28. Моисеева Н.К. Международные проекты как форма поддержки развития малых предприятий наукоемкого профиля. -  Современный менедэмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998. С.69-70.
29. Синникова Т.Н., Дагаев А.А. Перспективы венчурного (рискового) финансирования нововведений в переходной экономике. - Современный менедэмент в условиях становления рыночной экономики в России. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции 28-29 мая 1998 г. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998. С.95-96
30. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Математическое моделирование развития популяции малых предприятий. - Управление большими системами. Материалы Международной научно-практической конференция (22-26 сентября 1997 г., Москва, Россия). - М.: СИНТЕГ - Ин-т проблем управления РАН, 1997. С.85-85.